บันทึกการอ่าน๑๖

วันที่ ๓๑ เดือน ธันวาคม พ.ศ. ๒๕๕๘

ที่มา กองบรรณาธิการและ คณาจารย์ Think Beyond Genius

        พิมพ์ครั้งที่ ๑ สำนักพิมพ์ ไอดีซี พรีเมียร์ จำกัด

เรื่อง ขุนช้าง

     ขุนช้างเป็น บุตรของขุนศรีวิชัย แนะนางเทพทองซึ่งมีฐานะร่ำรวยมาก มีนิสัยเจ้าเล่ห์เพทุบาย รูปก็ชั่วตัวก็ดำ หัวหรือก็ล้านมาเสียแต่ตั้งแต่กำเนิดเนื่องจากุนช้างมีรูปพรรณฮัปลักษณ์ ผู้เป็นก็อับอายขายขี้หน้า นอกจากนีไม่ว่าจะเดินไปไหนทางใดจะเป็นที่ขยขันล้อเลียนของชาวบ้านอยู่เสมอ พอเป็นหนุ่มก็ได้ นางแก่นแก้วมาเป็นภรรยาา แต่อยู่ด้วยกันได้ไม่นานนักก็ตายจากไป ทิ้งให้ขุนช้างโดดเดียวเปลี่ยวเอกา ดังนั้นขุนช้างจึงหันมา หมายปองนางพิมมาไลย แต่นางไม่ยินดีด้วย และได้แต่งงานกับพลายแก้ว (ขุนแผน) แต่ขุนช้างก็ยังไม่ลดความพยายามคงใช้อุบายหลอกล่าจนได้แต่งงานกับนางพิมมาไลยสมใจ

บันทึกการอ่าน๑๕

วันที่ ๓๑ เดือน ธันวาคม พ.ศ. ๒๕๕๘

ที่มา กองบรรณาธิการและ คณาจารย์ Think Beyond Genius

        พิมพ์ครั้งที่ ๑ สำนักพิมพ์ ไอดีซี พรีเมียร์ จำกัด

เรื่อง เสภาขุนช้างขุนแผน

พลายงามได้รับราชการทหารได้ดิบได้ดีจนมีความดีความชอบจนได้เป็นจมื่นไวยวรนาถ เมื่อชนะความขุนช้างแล้วก็ไม่มีความสุขเท่าที่ควรเพราะเห็ยว่ามารดาไม่คู่ควรกับขุนช้าง วันหนึ่งนางวันทองมารดาที่ยังอยู่กับขุนช้าง จึงคิดพานางมาอยู่ด้วยกัน ดังนั้นพลายงามจึงลัลอบขึ้นเรือนขุนช้างเพื่อที่จะพานางวันทองหลบหนี ขุนช้างตื่นขึ้นมาไม่พบนางวันทอง ใชให้บ่ายไพร่ค้นหาจนทั่วก็ไม่พบ พลายงามได้คิดว่าถ้าขุนช้างรู้ว่าลักนางวันทองมาคงจะนำความขึ้นกราบทูลสมเด็จพระะันวษา มารดาก็จะต้องโทษ จึงออกอุบายให้หม่นวิเศษผลไปบอกว่าป่วยหนักอยากพบหน้าแม่ และขอให้แม่อยู่ด้วยสักพักหายไข้แล้วจะส่งกลับ

ขุนช้างโกรธเป็นกำลังจึงถวายฎีกาต่อสมเด็จพระพันวษากล่าวโทษพลายงงาม สมเด็จพระพันวษาทรงเห็นว่าเรื่องฟ้องร้องแย่งชิงนางวันทองนี้ไม่จบไม่สิ้นเสีียที พระองค์จึงตรัสถามว่าจะเลือกอยู่กับใครแต่ด้วยเคราะห์กรรมดลวัันทองตกประหม่าไม่อาจตัดสินใจได้ สมเด็จพระพันวษาจึงรับสั่งให้นไไปประหาเสีย

บันทึกการอ่าน๑๔

วันที่ ๓๑ เดือน ธันวาคม พ.ศ. ๒๕๕๘

ที่มา พงษ์ศํกดิ์ ชินาบุญ

        พิมพ์ครั้งที่ ๑ สำนักพิมพ์ วิทยพัฒน์ จำกัด

เรื่อง การหักเห

เมื่อคลื่นเคลื่อนที่มาถึงขอบของตัวกลาง คลื่นบางส่วนจะเคลื่อนที่ย้อนกลับมายังตัวกลางเดิม

การเคลื่อนที่ของคลื่นในส่วนนี้คือการสะท้อนที่ได้ศึกษาไปแล้วในหัวข้อที่ผ่านมา ในขณะเดียวกันจะมี

คลื่นบางส่วนเคลื่อนที่ต่อไปยังตัวกลางอีกตัวหนึ่งที่อยู่ติดกัน การเคลื่อนที่ของคลื่นในส่วนนี้คือ การ

หักเห คลื่นที่หักเหจะเคลื่อนที่จากตัวกลางหนึ่งไปยังอีกตัวกลางหนึ่ง อัตราเร็วคลื่นซึ่งขึ้นอยู่กับสมบัติ

ของตัวกลางจึงเปลี่ยนแปลงไป สิ่งนี้แตกต่างจากการสะท้อน และยังมีอีกหลายสิ่งที่แตกต่างกัน ในหัวข้อนี้

จึงจะศึกษาการหักเห

การหักเห เป็นการเคลื่อนที่ของคลื่นจากตัวกลางหนึ่งไปยังตัวกลางที่อยู่ติดกัน การหักเหเกิด

ขึ้นได้กับการเคลื่อนที่ของคลื่นทั้ง 1 มิติและ 2 มิติ แต่เพื่อให้เข้าใจได้ง่าย ในที่นี้จะเริ่มจากการหักเห

ของคลื่นเชือกใน 1 มิติ ซึ่งแนวทางในการวิเคราะห์การหักเหของคลื่นเชือกนี้จะนำไปใช้กับการหักเหของคลื่นใน 2 มิติด้วย

บันทึกการอ่าน๑๓

ที่ ๓๑ เดือน ธันวาคม พ.ศ. ๒๕๕๘

ที่มา พงษ์ศํกดิ์ ชินาบุญ

        พิมพ์ครั้งที่ ๑ สำนักพิมพ์ วิทยพัฒน์ จำกัด

เรื่องคลื่นตามขวางกับตามยาว

     

    คลื่นตามขวาง

         แผ่ของคลื่น คลื่นบนเส้นเชือกในหัวข้อที่ผ่านมาเป็นตัวอย่างหนึ่งของคลื่นตามขวาง โดยคลื่น

เชือกจะเคลื่อนที่ในแนวราบไปทางขวามือ ในขณะที่ตัวกลางซึ่งเป็นอนุภาคของเชือกจะสั่นขึ้นลงในแนวดิ่ง จะเห็นได้ว่าทิศการเคลื่อนที่ของอนุภาคเชือกตั้งฉากกับทิศการแผ่ของคลื่น

คลื่นตามยาว

        คำจำกัดความของ คลื่นตามยาว คือคลื่นที่อนุภาคในตัวกลางมีทิศการเคลื่อนที่หรือทิศการ

 แกว่งกวัดอยู่ในแนวเดียวกับทิศการแผ่ของคลื่น ตัวอย่างของคลื่นตามยาวสามารถสร้างขึ้นได้จากการ

 กดและดึงปลายสปริง

บันทึกการอ่าน๑๒

ที่ ๒๓ เดือน ธันวาคม พ.ศ. ๒๕๕๘

ที่มา พงษ์ศํกดิ์ ชินาบุญ

พิมพ์ครั้งที่ ๑ สำนักพิมพ์ วิทยพัฒน์ จำกัด

เรื่อง การสะท้อน

     การศึกษาการเคลื่อนที่ของคลื่นก่อนหน้านี้ได้สมมติให้คลื่นเคลื่อนที่ในตัวกลางหนึ่งได้ไม่สิ้นสุด

แต่สิ่งนี้ไม่สอดคล้องกับความเป็นจริง เนื่องจากตัวกลางมักมีขนาดจำกัด คลื่นจึงเคลื่อนที่มาถึงขอบ

ระหว่างตัวกลาง 2 ตัวได้ ทำให้คลื่นทั้งหมดหรือบางส่วนเคลื่อนที่ย้อนกลับมายังตัวกลางเดิม การ

เคลื่อนที่ย้อนกลับในตัวกลางเดิมนี้เรียกว่า การสะท้อน ตัวอย่างที่พบได้ง่าย เช่น เมื่อคลื่นนํ้าเคลื่อนที่

มาถึงขอบสระ จะเกิดการสะท้อนกลับมายังนํ้าที่เป็นตัวกลางเดิม เป็นต้น ในขณะเดียวกันอาจจะมีบาง

ส่วนของคลื่นที่เคลื่อนที่มาถึงขอบของตัวกลาง แล้วเคลื่อนที่ต่อไปยังตัวกลางอีกตัวหนึ่งที่อยู่ติดกัน การ

       เคลื่อนที่ของคลื่นในส่วนนี้เรียกว่า การการศึกษาการสะท้อนจะเริ่มจากการสะท้อนของคลื่น

เชือกซึ่งเป็นการสะท้อนใน 1 มิติ จากนั้นจะศึกษาการสะท้อนใน2 มิติจากคลื่นนํ้า รายละเอียดมีดังต่อไปนี้เริ่มจากการสะท้อนของพัลส์ซึ่งเป็นการสะท้อนใน 1 มิติกำหนดให้กระตุกปลายเชือกด้านซ้ายมือขึ้นลงเพื่อสร้างพัลส์ให้เคลื่อนที่ไปทางขวามือ ก่อนหน้านี้ปลายเชือกด้าน  ขวามือถูกสมมติให้ยาวไม่มีที่สิ้นสุด แต่ในหัวข้อนี้จะถูกยึดไว้กับฐานรองรับ ปลายเชือกด้านขวามือจึงเกิดการสะท้อนของพัลส์เนื่องจากเป็นขอบของตัวกลาง การสะท้อนที่เกิดขึ้นจะแตกต่างกันตามเงื่อนไขของการยึดปลายเชือกกับฐานรองรับ

บันทึกการอ่าน๑๑

ที่ ๒๓ เดือน ธันวาคม พ.ศ. ๒๕๕๘

ที่มา พงษ์ศํกดิ์ ชินาบุญ

        พิมพ์ครั้งที่ ๑ สำนักพิมพ์ วิทยพัฒน์ จำกัด

เรื่อง ความเร่ง

ความเร็วเป็นปริมาณเวกเตอร์ซึ่งประกอบด้วยขนาดและทิศการเคลื่อนที่ ภายในรถยนต์จึงมี

อุปกรณ์ควบคุมความเร็วหลายประเภท ตั้งแต่คันเร่งและห้ามล้อที่ใช้เพิ่มหรือลดขนาดของความเร็ว และ

พวงมาลัยที่ใช้เปลี่ยนทิศของความเร็ว การเคลื่อนที่ของวัตถุจึงมีความเร็วเปลี่ยนจากขณะหนึ่งไปยังอีก

ขณะหนึ่งได้ เพื่อที่จะอธิบายการเปลี่ยนความเร็วของวัตถุภายในช่วงเวลาหนึ่ง จึงกำหนดให้มีปริมาณ

พื้นฐานการเคลื่อนที่อีก 1 ตัว คือ ความเร่งการคำนวณความเร่งทำได้ 2 วิธีเช่นเดียวกับการคำนวณความเร็วคือ ความเร่งเฉลี่ย

(average acceleration) และ ความเร่งขณะหนึ่ง (instantaneous acceleration) ขั้นตอนการ

คำนวณความเร่งทั้ง 2 วิธีคล้ายคลึงกับความเร็ว

บันทึกการอ่าน๑o

ที่ ๑๘ เดือน ธันววาคม พ.ศ. ๒๕๕๘

ที่มา พงษ์ศํกดิ์ ชินาบุญ

พิมพ์ครั้งที่ ๑ สำนักพิมพ์ วิทยพัฒน์ จำกัด

เรื่อง การเปลี่ยนหน่วย 

ปริมาณประเภทหนึ่งในฟิสิกส์สามารถวัดค่าในหน่วยที่แตกต่างกันได้ เช่น วัดความยาวห้องในหน่วย

เมตรได้ 5.00 m แต่วัดความกว้างห้องในหน่วยฟุตได้ 9.00 ft เป็นต้น ในกรณีนี้เมื่อคำนวณพื้นที่ห้องจะ

เท่ากับ 9.00 ft × 5.00 m = 45.0 ft⋅ m ซึ่งจะเห็นได้ว่า พื้นที่ห้องในรูปของหน่วยผสมเช่นนี้ไม่มีประโยชน์

โดยทั่วไปปริมาณประเภทหนึ่งจึงต้องใช้หน่วยเดียวกัน การเปลี่ยนหน่วยในรูปหนึ่งให้เป็นหน่วยในอีกรูปหนึ่งจึง

เป็นสิ่งจำเป็น

สิ่งแรกที่ต้องทราบในการเปลี่ยนหน่วยคือ ความสัมพันธ์ระหว่างหน่วยทั้ง 2 รูป สำหรับในกรณีที่

ผ่านมา หากต้องการเปลี่ยนความกว้างห้องจากหน่วยฟุตเป็นหน่วยเมตร จะต้องทราบว่าหน่วยทั้ง 2 รูปมีความ

สัมพันธ์กันคือ 1 ft = 0.305 m ความสัมพันธ์นี้มีความหมายว่า ความยาว 1 ft เท่ากับความยาว 0.305 m

ดังนั้นหากนำความยาวทั้งสองค่านี้มาเขียนเป็นอัตราส่วนจะมีค่าเท่ากับ 1 เสมอ

จากขั้นตอนที่ผ่านมาสรุปได้ว่า ตัวประกอบการเปลี่ยนทำให้เขียนปริมาณในหน่วยอื่นได้โดยไม่ทำให้ค่าของปริมาณนั้นเปลี่ยนแปลงไป

บันทึกการอ่าน๙

ที่ ๑๘ เดือน ธันวาคม พ.ศ. ๒๕๕๘

ที่มา พงษ์ศํกดิ์ ชินาบุญ

พิมพ์ครั้งที่ ๑ สำนักพิมพ์ วิทยพัฒน์ จำกัด

เรื่อง บทนำฟิสิกส์

      แตกต่างกันได้ สาเหตุเนื่องจากการรับรู้สีเป็นสิ่งที่ขึ้นอยู่กับผู้สังเกตแต่ละคน วิธีที่ดีกว่าจึงเป็นการอธิบายสี

ด้วยความยาวคลื่นของแสง สาเหตุเนื่องจากสีที่แตกต่างกันเป็นผลจากการตอบสนองของดวงตาต่อแสงที่มี

ความยาวคลื่นไม่เท่ากัน วิธีนี้แตกต่างจากการใช้ความรู้สึกของผู้สังเกตในการระบุสี เนื่องจากความยาวคลื่น

สามารถวัดค่าได้ ซึ่งทำให้ได้ผลการสังเกตเหมือนกันไม่ว่าจะเป็นผู้สังเกตคนใด ฟิสิกส์จึงพยายามอธิบายธรรมชาติ

ด้วยการวัดปริมาณ ซึ่งเป็นวิธีที่ไม่ขึ้นอยู่กับความรู้สึกส่วนตัว กล่าวได้ว่า การวัดเป็นเครื่องมือที่สำคัญที่สุด

ชิ้นหนึ่งในฟิสิกส์

เมื่อต้องการวัดค่าปริมาณหนึ่ง จะใช้การเปรียบเทียบปริมาณนั้นกับมาตรฐานอ้างอิงที่กำหนดขึ้น เช่น

เมื่อกำหนดให้ความยาวของวัตถุชิ้นหนึ่งเท่ากับ 1 เมตร จากนั้นนำวัตถุไปวัดความยาวเชือกพบว่าเชือกยาวเป็น

50 เท่าของวัตถุ กล่าวได้ว่าเชือกยาว 50 เมตร เป็นต้น มาตรฐานเช่นนี้ก็คือ หน่วย (unit) ของปริมาณนั่นเอง

ตัวอย่างหน่วยอื่นๆ เช่น วินาทีเป็นหน่วยของเวลา และกิโลกรัมเป็นหน่วยของมวล เป็นต้น

สิ่งสำคัญคือ ตัวเลขที่ใช้ระบุปริมาณที่วัดค่าได้จะต้องกำหนดหน่วยที่ใช้ในการวัดเสมอ เช่น หากระบุ

ความยาวที่วัดได้เท่ากับ 30 โดยไม่มีหน่วย จำนวนนี้จะไม่มีความหมายในฟิสิกส์

ในการวัดจะมีหน่วยมาตรฐานหลายหน่วยตามประเภทของปริมาณที่ต้องการวัด ดังนั้นจึงมีการรวม

หน่วยมาตรฐานเป็นกลุ่ม โดยเรียกกลุ่มของหน่วยมาตรฐานเช่นนี้ว่า ระบบหน่วย (system of units)

ในปัจจุบันนี้ระบบหน่วยแบ่งออกได้เป็น 2 ระบบ คือ ระบบเมตริก (metric system) และ ระบบ

อังกฤษ (British system) โดยระบบอังกฤษใช้ในธุรกิจและอุตสาหกรรมของประเทศที่ใช้ภาษาอังกฤษในการ

สื่อสาร แต่ในอนาคตระบบหน่วยนี้จะถูกแทนที่ด้วยระบบเมตริก ในที่นี้จึงจะกล่าวถึงระบบเมตริกเป็นหลัก

ระบบเมตริกถูกตั้งขึ้นในปี ค.ศ. 1791 แต่เนื่องจากนิยามของหน่วยมาตรฐานในขณะนั้นค่อนข้างยุ่งยาก

และประสบปัญหาในการทำขึ้นใหม่ให้ถูกต้อง ดังนั้นจึงมีการปรับปรุงนิยามของหน่วยให้มีความชัดเจน จนกระทั่ง

ปี ค.ศ. 1960 องค์กรระหว่างชาติเพื่อการมาตรฐาน (International Organization for Standardization หรือ

ISO) ได้กำหนดระบบหน่วยให้ทุกประเทศใช้เป็นมาตรฐาน ระบบหน่วยนี้มีพื้นฐานจากระบบเมตริก โดยเรียกชื่อ

ว่า ระบบหน่วยระหว่างชาติ (The International system of Units) หรือ ระบบเอสไอ (SI) ระบบเอสไอ

ประกอบด้วยหน่วย 2 ประเภท คือ หน่วยฐาน (base units) และ หน่วยอนุพัทธ์ (derived units) หน่วย

ฐานเป็นหน่วยหลักของระบบเอสไอ ซึ่งประกอบด้วยหน่วย 7 หน่วยดังตาราง 1.1 ส่วนหน่วยอนุพัทธ์เป็นหน่วย

ที่เกิดจากการรวมกันของหน่วยฐาน เช่น หน่วยของอัตราเร็วเป็นเมตร/วินาที หน่วยนี้เป็นการรวมกันของหน่วย

เมตรกับวินาที ดังนั้นจึงเป็นหน่วยอนุพัทธ์ เป็นต้น

บันทึกการอ่าน ๘

วันที่ ๑๓ เดือนธันวาคม    พุทธศักราช   ๒๕๕๘

 ที่มา : สุทธิพร พงษ์รัตนกุล, สรุปเคมี เล่ม ๓. พิมพ์ครั้งที่ ๒. กรุงเทพฯ : ชัยภัทร พริ้นติ้ง. ๒๔๕๕. หน้า ๕-๑๓

มี 2 ประเภท

1.แรงยึดเหนี่ยวระหว่างอะตอม (chemical bond)

   พันธะโลหะ =  โลหะ + โลหะ  ทำพันธะกัน

   พันธะโคเวเลนต์ =  อโลหะ + อโลหะ

   พันธะไอออนิก  =  อโลหะ + โลหะ

2.แรงยึดเหนี่ยวระหว่างโมเลกุล(physical bond)เกิดเฉพาะในสารประกอบโคเวเลนต์

   แรงแวนเดอร์วาลส์ = แรงลอนดอน  , แรงระหว่างขั้ว

   พันธะไฮโดรเจน

สรุปภาพรวม

·      แรงยึดเหนี่ยวระหว่างอนุภาคเป็นแรงยึดเหนี่ยวทางไฟฟ้า(เพราะเกิดจากการผลักและดูดกันขงประจุ)

·      การสร้างแรงยึดเหนี่ยวเป็นการคายพลังงาน และการสลายแรงยึดเหนี่ยวเป็นการดูดพลังงาน(แต่การเกิดสารประกอบอาจเป็นทั้งดูดและคายพลังงาน เพราะมันมีขั้นตอนย่อยๆกว่าจะเกิดสารประกอบขึ้นมา)

·      ลำดับความแข็งแรง  แรงยึดเหนี่ยวอะตอม>แรงยึดเหนี่ยวระหว่างโมเลกุล (อะตอมมีขนาดเล็กกว่าดังนั้นช่องว่างต่างๆก็จะน้อยกว่าทำให้อะตอมยึดติดกันได้ดีกว่าโมเลกุล)

·      พันธะเคมี คือ แรงยึดเหนี่ยวระหว่างอะตอม คือ พันธะไอออนิก โคเวเลนต์ โลหะ มีเสริมมาคือ โคออดิเนตโคเวเลนต์ และ โครงผลึกร่างตะข่าย(ดังนั้นแสดงว่าแรงยึดเหนี่ยวระหว่างโมเลกุลไม่ใช่พันธะมี)

·      พลังงานพันธะ คือ พลังงานที่คายออกสู่ธรรมชาติ เมื่อมีการสร้างพันธะ เพื่อให้ตัวเองเสถียรขึ้น และ ดูดพลังงานเมื่อต้องการให้พันธะแยกออกจากกัน

บันทึกการอ่าน ๗

วันที่  ๑o เดือน ธันวาคม  พ.ศ. ๒๕๕๘
ที่มา: อาจารย์ คณิต มงคลพิทักษ์สุข. HI-SPEED MATHS 
พิมพ์ครั้งที่๒. กรุงเทพฯ: ธรรมบัณฑิต ,๒๕๕๖ หน้า ๒oo-๒o๙


ชนิดของฟังก์ชัน

แบ่งชนิดของฟังชันก์ ตามลักษณะของการจับคู่ของสมาชิกในเซต A ไปยัง สมาชิกของเซต B ได้ 4แบบ คือ

1)           ฟังชันก์แบบทั่วถึง (onto functions)

      ฟังก์ชัน F: A→B จะเรียกว่า “ฟังก์ชันแบบทั่วถึง” จาก A ไปB ก็       ต่อเมื่อ R_f  ชองเซต B ถูกจับคู่ครบทุกสมาชิก

2) ฟังก์ชันแบบไปไม่ทั่วถึง  (Into function)

     ฟังก์ชัน F: A→B จะเรียกว่า “ฟังก์ชันแบบไม่ทั่วถึง” ก็ต่อเมื่อ R_f       เป็นสับเซตของเซต B

     3)ฟังก์ชันแบบหนึ่งต่อหนึ่ง (1-1 function)

     ฟังก์ชัน F: A→B จะเรียกว่า “ฟังก์ชัน 1-1 “ ก็ต่อเมื่อสมาชิกของB     จะถูกจับคู่แค่ตัวละครั้งเดียว

    4)ฟังก์ชันแบบไม่ใช่หนึ่งต่อหนึ่ง (many to one function)

   ฟังก์ชัน F: A→B จะเรียกว่า “ฟังก์ชันแบบไม่ใช่หนึ่งต่อหนึ่ง” ก็ต่อเมื่อมีสมาชิกของ เซต B ถูกจับคู่มากกว่า1ครัง

บันทุกการอ่าน ๖

วันที่  ๑  เดือน ธันวาคม  พ.ศ. ๒๕๕๘
ที่มา: อาจารย์ คณิต มงคลพิทักษ์สุข. HI-SPEED MATHS 
พิมพ์ครั้งที่๒. กรุงเทพฯ: ธรรมบัณฑิต ,๒๕๕๖ หน้า ๑๓๑-๑๔๑

ลำดับเลขคณิต Arithmetic Sequence

   ลำดับที่มีผลต่างระหว่างสองพจน์ที่อยู่ติดกันมีค่าคงตัวเสมอ เรียก d

เช่น a₁₀  = a₂ + 8d

      a₁₀  =  a₁  + 9d

EX จงหาค่า A ที่ทำให้ 2A , A+16 , 4A+4 เป็นสามพจน์ที่เรียงกันในลำดับเลขคณิต เท่ากับเท่าใด

จำนวนจำเพาะสัมพัทธ์ มีตัวหารร่วมกัน ตัวอย่างเช่น 6 จำนวนจำเพาสัมพัทธ์ของ 6 คือ 2,3     

ลำดับเราขาคณิต

a_n = a₁ r^(N-1)   

เช่น a₁₀   = a₁r^10-1    a_10­ = a₂r^10-2 ก็ได้

พจน์กลางของ A B C ซึ่งเป็นลำดับเรขา

            B² = AC   

การหาพจน์กลางจากลำดับเรขาที่มี 3พจน์ A B C